今日说“π”:这个复杂数,是什么来历?

作者:蝌蚪君来源:蝌蚪五线谱发布时间:2017-03-14

3.141592653……你能背到多少位,你知道这个复杂数,是什么来历吗?

  3月14日9时26分53秒,看到这串数字,你能想到什么?没思路?让我再把它们换种排列方式:3/14/15 9:26:53。这下看出来了吧,3.141592653……山巅一寺一壶酒, 尔乐苦煞吾…… 当你开始驾轻就熟,摇头晃脑地读起这串再熟悉不过的数字时,可能并没意识到,“π日”这个全世界数学爱好者,尤其是“π迷”的纪念日正在朝你快步走来!

  2009年,在麻省理工学院的首先倡议下,美国众议院正式通过一项无约束力决议(Non-binding resolution)(HRES 224),将每年的3月14号设定为“圆周率日”即“Pi Day”。2011年,国际数学协会也正式宣布将每年的3月14日设为“国际数学节”。

  自此,世界各地的“π迷”们又有了一个专属的狂欢节。他们吃π(英文pie,与圆周率英文pi同音),喝π(一种鸡尾酒),玩π(和pi 发音相近的彩罐游戏piñata);唱π(为圆周率),做π,用你想得到的和想不到的方式膜拜着π这个神奇的数字。(更多疯狂庆祝方式请见《学霸都在庆祝π日,你却还在过白色情人节!》

天坑

2014年3月14日,美国德州奥斯汀,当地圆周率迷和空中爱好者们用5架飞机在1万英尺的高空创作了"PI IN THE SKY(π在天空)"的字样(资料图)

  在疯狂庆祝的同时,请不要忘记那些为推算π值殚精竭虑的科学家,也是最资深、最刻苦的“π迷”们,正是因为他们数十年如一日乃至穷极一生对π值的执着追求,才有了如今精确到几千万亿位的数值供大家研究。让我们来看看他们的“辉煌”成绩吧。(此处仅列举人工推算π值的先驱们,因为人数实在令人咋舌,仅列举较为人熟知和故事生动有趣的几位,难免挂一漏万,万望小伙伴见谅!)

        1、 我国最知名的“π迷”---祖冲之

祖冲之

祖冲之(公元429公元500),我国南北朝时杰出的数学家、天文学家。(网络图)

  作为在华夏大地最知名的一枚“π迷”,祖冲之早在公元500年的南北朝时期,就求得当时世界上最为精准的圆周率:3.1415926<π<3.1415927,这项纪录保持了一千年。一千年,在整个人类史上顶多算是惊鸿一瞥,但在圆周率的推算史上绝对是漫长的。

  至今人们仍不清楚,这个数值在那个测算工具相当简陋的年代是怎样推算出来的。要知道,阿基米德(公元前287–212 年)当年得出数值3.14时,一直计算到正96边形。如果用内接和外切正多边形的方法逼近圆周,要达到3.1415926的精准度,需要切割到24576边形!数学界普遍有种推测:祖冲之的推算成就很可能跟中国另一位“π迷”--刘徽有关。

        2、 承前启后的资深“π迷”--刘徽

刘徽肖像_副本

刘徽(约公元225年—295年),我国魏晋时期伟大的数学家。(网络图)

  提到刘徽,不得不提我国数学史上的一部经典——《九章算术》。其首章“方田章”讨论了各种几何图形的度量问题,并且提供了求圆面积的“圆田术”。早于祖冲之推算π值200多年,刘徽著《九章算术注》,其中,对“圆田术”进行了清晰的注解,后世称为《割圆术》。在这篇仅仅1800余字的文章中,刘徽分三部分对圆周率的计算进行了翔实的阐述,给出了一个完整而成熟的推算圆周率的算法。

  有趣的是,在对《九章算术•少广》章第二十四题的注文中,刘徽提到了所谓“张衡算”,这一与推算π值有关的算法来源于我国历史上又一位“科学大咖”--张衡。

        3、 我国第一个理论求得π值的“π迷”—张衡

张衡_副本

张衡(78年—139年),东汉天文学家、数学家、发明家、地理学家、文学家。(网络图)

  早在公元前2世纪,中国古算书《周髀算经》中就有“径一而周三”的记载,意即“π=3”。这个数值显然不够清晰。岁月如梭,转眼到了东汉,天文学家张衡铸造了“浑天仪”,在此过程中,他不可避免地要演算关于球的各种数值,如外切立方体积、内接立方体积以及球的体积等等。因此,当浑天仪于元初四年(公元117年)被安放在灵台大殿的密室之中时,“副产品”--我国历史上第一个理论求得的π值也诞生了。

  通过“渐进分数”法,张衡算出π为十的平方根,即为3.162。和后世的刘徽、祖冲之们相比,张衡的计算显然不够精确,但却比印度和阿拉伯的数学家早了五到七个世纪!

  说完我国,我们把视野转到国外。一块约产于公元前1900年至1600年的古巴比伦石匾上清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。这应该是迄今能够找到的最早的,人类对于π值探索的证明。公元前3世纪时,古希腊是著名的“数学王国”。为了运算简便,人们会选一个以长度为 直径 的圆,这样圆的周长在任何内接正多边形的周长和任何外切正多边形的周长之间。由于计算内接和外切正多边形的周长比较容易,π值的上下界也得到了粗略的推 算。把这一方法发扬光大的是在人类科学史上赫赫有名的大咖—阿基米德。

        4、 阿基米德:开创理论计算π值的先河。

阿基米德

阿基米德(公元前287–212 年)古希腊伟大的数学家、物理学家及工程师。(网络图)

  提起阿基米德,人们最熟知的应该是这句名言:“给我一个支点,我就能撬起整个地球。”显然,阿基米德对于球体有着无比的热爱,他利用“逼近法”算出球面 积、球体积、抛物线、椭圆面积等等, 他还吸取前人经验,通过计算12、24、38、96边内接和外切正多边形的周长,算得π值在223/71与22/7之间,取值为3.14。阿基米德开创了 理论计算π值的先河,后人在推算π值时多沿用他的计算方法。

        5、 欧拉:使π成为圆周率的代名词。

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莱昂哈德·欧拉(1707年-1783年)瑞士数学家和物理学家,近代数学先驱之一。(网络图)

  提到欧拉,大家都不会陌生,在数学史上,尤其是在微积分领域,他成就斐然,其中以欧拉级数最负盛名。

  微积分创建初期,心思巧妙而前沿的数学家们开始尝试用微积分来求圆的面积,进而推导出许多关于π的表达式。π是一个无理数,又是超越数,一言以蔽之,这 是一个复杂度很高同时又极具魅力的数。微积分创立之时,许多欧洲的数学家提供了诸多π的解析表达式,这些公式就像是大自然鬼斧神工的景色一样美不胜收。而 这众多琳琅满目的“美景”中,以欧拉贡献最为突出和让人叫绝。这就是著名的欧拉级数。

  而关于欧拉跟π之间的关系,不仅仅在于欧拉级 数, 更值得一提的是,由于欧拉敏锐地预测到圆周率这个普适常数在微积分乃至整个数学研究中的重要地位,在1748年出版的一本微积分教材中,建议用符号“π” 来表示圆周率。“π”是希腊文“圆周”( περιφρεια )的首字母。虽然在1706年英国数学家威廉•琼斯已经用过,但是因为欧拉的积极倡导,最终才促使π成为了圆周率的代名词。

        6、 鲁道夫:在德国,他的名字常被用来称呼π。

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鲁道夫·范·科伊伦(1540年—1610年),荷兰数学家(网络图)

  众所周知,因为鲁道夫的刻苦努力和他所取得的成就,德国人常称π为“鲁道夫数”,这对一个数学家而言无疑是莫大的荣誉。鲁道夫使用的方法与1800年前 阿基米德所创的割圆法一脉相承,就是利用圆的内接和外切。1610年,正值古稀的鲁道夫终于计算出2的62次方边形的周长, 成功地将π值计算到了35位。鲁道夫为此颇感自豪,自知身体大限将至的他当即留下遗言,让后人把这个π值铭刻在他的墓碑上。

  这一数值为:3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288。仔细看上图右半部分,鲁道夫的墓碑上真的刻着这一数值哦!

        7、 尚克斯:最悲催的“π迷”---算错数值刻上墓碑。

  英国数学家尚克斯对π值的计算可以用走火入魔来形容。他吃饭在算,睡觉还在算,耗费20年光阴,终于在1873年的时候将π值计算到了707位,他自认 无人可比,以此为荣,在死后将这一结果也刻在了墓碑上。悲哀的是,到了1945年,他的一位英国 老乡弗格森证明了从528位之后,数值就是错误的。还好,已含笑九泉的尚克斯已无从得知,所以有人说,他是最不幸的,也是最幸运的。

    附:手工计算π值的各位英雄排行榜!(来源:数学博览馆)

手工计算π值的英雄榜(不完全的统计)

 

时间 姓名与国家 计算的方法 位数 值 (正确的位数)
公元前2000年? 巴比伦人  25/8 = 3.125 1 3.125
公元前2000年? 古埃及人 古埃及人应用了约四千年的3.160493 1 3.16045 
公元前1200年? 中国 (周三径一) 1 3
公元前550年?(1 Kings 7:23)  《圣经》 —  1 3
公元前250年 阿基米德(希腊) 用圆内接96边形计算出π。π = 211875/67441 3.14163...
公元一世纪 刘歆 (中国) 计算方法无法考证,但是值是有证据的。 3.1457(2位正确)
公元78-139年 张衡 (中国) 1 92/29或√10 根号10
公元150年 托勒密(希腊) 3 3.14166
公元250? Chung Hing —  1 3.16227 (√10)
公元 王蕃 (中国) —  1 3.155
公元263年 刘徽 (中国)  用割圆术的方法3.14159 5 3.14 , 后来又算的3.14159
公元307-447? 何承天(中国)     3.1428 ,用22/7
公元455年前后 皮延宗(中国)     值考查不出来
公元380 斯得汗塔 —  3 3.1416
公元480年 祖冲之(中国) 祖冲之使用割圆术方法,用分数22/7 和355/113 计算,并给出了 3.1415926 3.1415927 7 3.1415926
公元499年 阿亚哈塔 —  3.14156
公元640年 布鲁马古塔 —  1 3.162277 (= √10)
公元800年 花拉子米(阿拉伯) —  4 3.1416
公元1150年 婆什迦罗第二 (印度)  π= 3927/1250 = 3.1416  3.1416
公元1220年 斐波纳契 —  3 3.141818
公元1420年 天文学家卡西(伊朗)   17 3.14159265358979325 
公元1424年 卡施 —  16  
公元1573年  奥托(德国) —  6 3.1415929(6位正确)
公元1579年 韦达(法国) 利用古典方法,圆内接正393216边形计算 9  
公元1585年 安托尼兹(荷兰)      
公元1593年 韦达(法国)

 

3.1415926536 (ave.)
公元1593年 罗曼纽斯(荷兰或比利时 ) 根据古典方法  15  
公元1596年 鲁道夫(德国) 根据古典割圆术 20  
公元1609年 鲁道夫(德国) 根据古典方法  35  
公元1610年 科沙伦(德国) —  35  
公元1615年 关孝和 (日本) —  10  
公元1615年 鲁道夫(德国) —  32  
公元1621年 斯奈尔 —   35  
公元1665年 牛顿 (英国) 用解析方法计算圆周率 16  
公元1650年 沃利斯 —     
公元1692-1765年 明安图(中国) —     
公元1699年 夏普 夏普无穷级数  71  
公元1706年 马青

 

100
公元1719年 德·拉尼(法国) 夏普无穷级数 127 (112位正确)
公元1723年 塔克贝 —  41 — 
公元1730年? 卡马他 —  25  
公元1739年 马苏纳伽 —  50 — 
公元1765年 沃利斯

沃利斯的公式

沃利斯的公式
公元1789年 乔治·维加 —   137  
公元1794年 乔治·维加(奥地利) 欧拉公式 140 — 
公元1824年 威廉·卢瑟福(英) 勒让德公式 208  ((152位正确)
公元1841年 威廉·卢瑟福(英) 152 
公元1844年  斯川森尼斯基和达塞 达塞的公式

 

200
公元1847年 克劳森 (丹麦或德国) —  248 — 
公元1853年 雷曼 —  261
公元1853年 威廉·卢瑟福(英) —  440
公元1853年 山克斯(英国) —  607 (528位是正确的) 
公元1873年 山克斯(英国) —   707 (528位是正确的)
公元1946年 弗格森 —  620  
公元1947年 弗格森 —  710  
公元1948年1月 弗格森和伦奇 808

  20世纪中叶,电子计算机研制成功,人工推算π值的热潮渐渐消退。2010年,日本一名男子创下将圆周率精确到小数点后5万亿位的新纪录。而雅虎公司的一 名研究员采 用“云计算”技术,将圆周率精确到小数点后2千万亿位。 对π值的疯狂追问体现了人类对于终极真相的无限渴望。人类对于π的膜拜还远远没有结束。

  自从推算π值的活移交给计算机后,更多的“π迷”把挑战舞台改到了背诵π值上。世界范围内,各类背诵比赛层出不穷。这绝对是个技术活。一般人背诵小数点后 几 十位、几百位应该就是不错的成绩。正所谓“强中自有强中手,一山更比一山高”。新的背诵记录在不断被创造,随即不断被刷新。现在可考的“吉尼斯世界纪录” 由中国人吕超保持。2005年他用时24小时零4分钟,不间断、无差错地背诵π值至小数点后67890位,打破了由日本人友寄英哲保持了十年之久的吉尼斯 世界纪录。

吕超得奖

吕超获得吉尼斯世界纪录证书。(网络图)

  乌克兰有位“π 博士”--安德烈·斯卢沙齐克,他号称能背诵到圆周率小数点后3000万位。因为真实性实在无法验证(如果以每秒一个数字、每天24小时、每周7天不停地 背诵的 话,也要至少1年时间才能背诵完毕!),负责验证纪录的检测人员只能任意挑出20本圆周率打印版中的一本并随机指定某一页让他背诵。经过反复测验,安德烈 的纪录被认可,并被载入了《乌克兰世界纪录全书》中。2011年,这位记忆天才因涉嫌伪造医学博士学位和非法行医被警方逮捕,让他所创纪录的真实性多少蒙 上了一层阴影。

安德烈

安德烈·斯卢沙齐克。(网络图)

  67890位,3000万位,虽然这些数字已足够令人胆寒,但仍有无数“π迷”义无反顾地走在挑战、刷新记录的路上。

  如果你自认记忆力一般,挑战世界记录无望,也无妨。因为,能够有勇气锻炼脑力,挑战自己就是胜利。2015年,在真人秀节目“最强大脑”的舞台上,一位 73岁的吕老先生挑战记忆π值小 数点后5000位。这位老人脑梗后患上老年痴呆,生活不能自理,记忆力严重衰退,为了不拖累子女,他就用背诵π值来锻炼脑力。老人深沉的父爱、非凡的勇气 和毅力让无数人动容。

吴光仁

被称为“老年π”的吴光仁老人在“最强大脑”舞台上。(网络图)

  所以,2015年3月14日9时26分53秒---在这个即将到来的特殊时刻里,让我们都来了解、亲近一下这个魔力四射的π吧!如果,背π没脑力,喝π没酒力,唱π没实力,那,做个π(派)总还靠谱吧!

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