从割圆九法到卡塔兰数——清初少数民族科学家明安图(下)

作者:魏德勇来源:蝌蚪五线谱发布时间:2019-06-24

明安图所创的“割圆九法”表明,清初关于圆周率的研究处于世界领先水平。

书接上集《持续半个世纪的星空观测》

话说清初蒙古族畴人科学家明安图在研究天文历法过程中,一直致力于数学的研究。研究重点是寻找计算圆周率的无穷级数。因为他明白,圆周率精确度的追求,不但可以推动科学的发展,还体现了人类对真相的渴望。中国古代用分割圆的方法求圆周率,思路虽然正确,但精度不高。明安图想找到一种类似无穷级数的公式,但多年苦求无果。正巧这时,他听闻法国传教士杜德美带来的书籍中有三个关于圆周率的无穷级数公式。这让他无比兴奋。

这到底是怎样的公式呢?


首创无穷级数公式

三个公式分别是西方数学家求圆周率、求正矢、求正弦的无穷级数展开公式。无穷级数是高等数学的一个重要概念,其思想的出发点是通过无穷无尽的加法运算来控制到达最终结果的过程。举个通俗的例子:“1+1/2+1/4+1/8+1/16……”的结果会无限接近2但不会等于2。

明安图看到的第一个无穷级数公式是由英国科学家牛顿所创,主要用于求圆周率。另两个是英国科学家格列高里所创,主要用于求正矢和正弦。

牛顿无穷级公式

牛顿无穷级公式(图源:《潜迹名工的古代数学》)

遗憾的是,杜德美虽然带来了公式,但没有证明过程。因为这过程太难了,一般人弄不懂,抄也容易出错。用日常俗话说就是“知其然但不知其所以然”。这样肯定不利于数学的发展。

为了证明三个无穷级数公式,明安图陷入长期的思考和计算中。他稍有空闲就把自己关在小屋里,寻求三个公式的证明过程。连续研究20多年后,他终于从传统的割圆术中找到了方向。割圆术是由我国魏晋数学家刘徽首创的,具体方法是用圆的内接多边形面积来求圆周率(中国古代称为“密率”)。多边形的边数越多,就越接近圆,所算的圆周率就越精确。

割圆术

原始的割圆术示意图(来源于网络)

“既然割圆术能算出密率,那这种思维不也可以通用到弧形的计算中吗?毕竟弧形是圆形的一部分。”明安图兴奋地想。

又过了几年,他终于创立出“割圆连比例法”,证明了西方传来的三个无穷级数公式。割圆连比例法以传统中算方法为基础,结合西方的连比例法,将圆弧分割成多个等份,得到系列三角形。三角形的边长值即为相应的弧长(弧的曲线边)、弦长(弧的直线边)或矢高(拱顶到拱底的高度)。弧分得越细,折线就越接近弧线,这与割圆术思想异曲同工。此法为后来高等数学的三角函数展开式研究开辟了新路。

再接再厉。明安图在证明三个无穷数级公式的基础上,花几年时间首创了六个全新的无穷数级公式并予以证明。这六个公式主要是根据弧长、弦长、矢高等相互之间的运算。现实生活中,拱桥建设的计算中要经常用到它们。

割圆九法领先世界

立言后世是封建读书人的最高理想,年近古稀的明安图也不例外。他把近30年的无穷数公式及证明过程写成一部名为《割圆密率捷法》的数学专著。可惜,他只完成初稿就身染重病。临终前,他把四卷本的手稿交给三子明新,并嘱托他与自己的学生完成修订工作。明新继承遗志,与陈际新、张良亭等同学反复讨论、推算和校对,终于于1774年完成终稿。1839年,在数学家罗士琳、岑建功主持下,此书得以刊刻出版。

《割圜密率捷法》书影

《割圆密率捷法》书影(网络图)

作为清朝初、中期优秀的数学专著之一,《割圆密率捷法》所载“割圆九法”(西方三法的证明过程和作者首创的六法及证明过程)在当时世界上关于圆周率的研究中处于领先地位。书中体现的割圆思想,对我国近代数学的发展产生了重要影响。

18世纪中叶,董祐诚、项名达、戴煦等清朝数学家研究《割圆密率捷法》后,把割圆九法运用到函数中,推动了微积分的发展。西学东渐过程中,西方微积分未传入我国,我国数学家硬是自行研究微积分,独立进入高等数学领域。尤其是戴煦,在此过程中他研发出一种造对数的方法——对数简法。此法是在数学家薛凤祚会通中西的历算家薛凤祚)对数研究的基础上取得的新成果。

国内外学者对明安图及《割圆密率捷法》都给予很高的评价。清朝科学家李俨说:“(他)以三十年之精思,始撰成《割圆密率捷法》……此数与形的结合,堪与笛卡儿创解析几何媲美。” 日本数学史家三上义夫、英国著名学者李约瑟也从不同的角度高度赞扬明安图对近代高等数学的贡献。明安图在数学上首创关于弧长、弦长、矢高之间的算法,对我国乃至世界都有重要的意义。

首次发现卡塔兰数

微积分是现代高等数学的分支,主要用于解决复杂的数学问题。卡塔兰数在微积分中有着重要的用途,除了生活中复杂的形象数组应用外,计算机二进制高级编程也会用到它。

虽然卡塔兰数是由西方科学家卡塔兰深入研究并以其名字命名的,但真正的发现者其实是明安图。中年明安图潜心学习西方先进的数学知识时,对三角函数产生了浓厚的兴趣。在长期的繁杂计算中,他发现一个“有趣的数组”,前若干项分别是:1、2、5、14、42、429、1430……,中间存在一定的规律,可用函数公式来表示。

明安图发现卡塔兰数(《割圜密率捷法》卷三,网络图)

明安图发现卡塔兰数(《割圜密率捷法》卷三,网络图)

明安图把“有趣的数组”详细写入《割圆密率捷法》中,书中共列了数组的前几十项数字。经验告诉他,此数组将来会对高等数学产生很大的影响。由于自己对西方数学了解不够透澈,没有接触更多的先进数学知识,他试了多年都无法深入地研究下去,只能停留在表层。他希望后人能继续研究下去。

30多年后的1778年,比利时数学家卡欧仁·查理·卡塔兰在科学研究中也发现了明安图当年那个“有趣的数组”。精力旺盛的他不但把数组推算出前百多项数字,还进行全面、深入地研究,并撰写成论文公诸于众。后人为了纪念他的贡献,把“有趣的数组”命名为“卡塔兰数”。

卡塔兰数前五项示意图

卡塔兰数前五项示意图(来源于网络)


尾声

约1765年,即乾隆三十年,畴人科学家明安图在北京逝世。朝廷派人对明氏家族进行慰问。历经康熙、雍正、乾隆三朝,钦天监工作50余年,一生致力于天文、历法、数学研究和地图测绘,真可谓劳苦功高。

虽然史书上对明安图的记载并不详细,但后人并没忘记他。1971年,他的家乡正镶白旗人民政府提议,将察汗淖镇改名为明安图镇,并在此地设立国家天文台明安图太阳观测基地。目前,明安图镇已成为正镶白旗政治、经济和文化的中心,并被评为“自治区六星级文明城镇”。2002年,国际天文学联合会同意把小行星带的28242号小行星命名为“明安图星”。天上、地下都永远留下了明安图的名字,时时被人们称颂,这应该是对这位清初蒙古族科学家勤奋一生的最好纪念吧。

位于明安图镇的中科院国家天文台明安图站(邓翔摄)

位于明安图镇的中科院国家天文台明安图站(邓翔摄)

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【参考资料】

1、 史论《明安图在钦天监五十余年工作记略》,作者史筠,《内蒙古大学学报》1963年。

2、 图书《独领风骚的古代数学》,李穆南主编,中国环境科学出版社,2006年第一版。

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