数学巨擘阿蒂亚的星辰

作者:于赫夫来源:中国数字科技馆发布时间:2019-03-12

2019年1月11日,89岁高龄的他与世长辞,留给世间的是他像星辰一样熠熠生辉的学术成就。

  迈克尔·阿蒂亚先生(Sir Michael Atiyah),当今最著名的数学巨擘之一,于2019年1月11日溘然长逝。这样一位成就名满天下、桃李芳漫天下、著作誉遍天下的老人在最后的时光,最为世人所知的竟是他以89岁高龄冲击黎曼猜想的轰动新闻,以及数学界对这一证明的不以为然甚至沉默。阿蒂亚的巨大成就及其晚年逾越常规的学术追求,让他的名字同时醒目伫立在世俗和学术社会,人们不得不驻足仰望,就像他曾深深凝视着精细结构常数,凝视着场论和几何之间所有可能的联系。

  

  阿蒂亚先生诞生于1929年4月22日的伦敦。他的父亲爱德华阿蒂亚(Edward Atiyah)来自黎巴嫩东正教家庭,写了不少关于中东问题,例如亚辛大屠杀的评论和著作;他的母亲简利文斯(Jean Levens)则来自苏格兰教会牧师家庭。一段时间以来,这个父母双牛津的高知家庭并没有被英国主流社会接纳,而迈克尔阿蒂亚便跟随他的父亲,在苏丹和埃及度过了大部分的童年时光。

  或许是其父亲对融入英国主流社会的渴望影响了他,或许是幼年便萌生的学术热情鞭策着他,阿蒂亚以牛津剑桥为目标,早早开始了极度刻苦的求学之路。在他的部分自述中可以读到,从5岁入读苏丹教会学校,到20岁进入心仪的剑桥三一学院,他付出了巨大的心血,也接受了扎实的经典数学训练。而在那个战火纷飞艰辛求学的岁月,阿蒂亚的内心就已经开始沉淀大量学术思考:从数学到化学,再回到数学后,发现了几何的魅力,笃定一生都将奉献于此——但似乎四元数也颇为诱惑。

  

童年时期的迈克尔·阿蒂亚

  阿蒂亚在三一学院的论文指导教授是拓扑几何专家霍奇(William V. D. Hodge)教授。在他的影响下,阿蒂亚接触到了更加现代的几何表示理论和研究思想,从拓扑到微分几何这一当时十分新颖时髦的视角牢牢抓住了他,新兴的层论(sheaf theory)为他在内的一代人打开大门。

  过往的积累和导师的深刻影响,让阿蒂亚于26岁凭借著名的论文《拓扑方法在代数几何中的一些应用》拿到博士学位。这一高光时刻,却似乎仅仅是某种铺垫,因为同年七月他迎娶了在三一学院结识的爱侣莉莉(Lily Brown),并在此后迎来人生中最重要的学术爆发。

  婚后,阿蒂亚拿到了在普林斯顿深造的机会,而此时莉莉已经是贝德福德学院的一名讲师。在竞争激烈的学术圈,放弃这一职位追随丈夫奔赴大洋彼岸,对二战结束后不久的女人意味着什么,如今的我们难以揣测。在当今人们的回首中,只能看到一个女人成全了一颗普林斯顿的新星,成全了一次数学物理的学术爆炸——这甚至让物理学家有点手足无措,而这位女人的心路则深深埋入历史。

  就像开篇所见,阿蒂亚先生的学术风格是颇为与众不同的。回顾其一生的工作,似乎可以这样总结:他最终关注的是对某个问题形成完整而透彻的观点;为了这个目标,他可以让思考无需成果亦没有边界地默默沉淀和蔓延,也欢迎任何技术、任何思想以及任何人与自己的思考碰撞,对问题形成崭新的深入认识;至于学术成果,似乎只是这些思考和碰撞的副产品。而那个让阿蒂亚先生最核心和深远地关切的问题,也许是一切客观(无论空间还是物质,抽象概念还是物理实在)之间的联系:几何与代数的联系、拓扑与分析的联系、空间与场的联系、电与磁的联系,乃至整个数学与物理、抽象与现象的联系。

  在阿蒂亚先生携新婚妻子奔赴普林斯顿当年,他邂逅了大量对其学术思想和轨迹产生重大影响的人物,包括他一生最重要的三位合作者:与其合作证明“指标定理”的辛格(Isadore Singer),与其合作证明“不动点定理”的博特(Raoul Bott),以及与其共同奠定拓扑K-理论的希策布鲁特(Friedrich Hirzebruch)。

  谈到几何,不得不关注空间的基本结构。如果说构成物理实在的是场,构成数字体系的是质数,那么我们看待空间最朴素的观点从哪里来呢?也许有人会说,当然是一个三维平直的(无限大)“空房子”,里面可以定义点,也可以定义箭头(带方向的线段),且这个箭头绕点转一周方向自然不变。但是还有更复杂(或者更基本)的情况:想想莫比乌斯环,箭头在这个几何结构上转一圈方向却变得与原来相反,这样怪异的结构如果推广成更一般的高维空间(矢量纤维丛)该如何研究呢?

  最初人们是用较朴素的集合论和层论等方法研究这类概念,某些计算和定义是颇为繁琐晦涩的。阿蒂亚和他的合作者(以希策布鲁特为主)则从拓扑的角度出发,在拓扑空间重新定义出原本用层论研究的概念,为建立拓扑K-理论,以及后来更一般的K-理论打下了必要的基础。某些原本较难定义和计算的概念,在阿蒂亚先生的拓扑理论中变得简洁明了且便于计算。之后结合博特的研究成果(描述同伦群周期性的定理),阿蒂亚与博特提出了“阿蒂亚-博特不动点定理”,为研究矢量纤维丛上的椭圆微分算符(就像圆可以推广为椭圆,拉普拉斯算符也可以类似地推广为椭圆微分算符)提供了便利。就此,阿蒂亚先生与其众多合作者开发出了一整套基于拓扑研究矢量纤维丛的方法——拓扑K-理论,且为后来更一般的上同调论和椭圆微分算符研究提供了有力工具。他随后在上同调论、协边(cobordism)研究、球丛、线丛以及克里福德代数等方面与不同合作者发表了多篇重量级工作,极大推动了代数几何领域的进展。

  伴随着这一波学术爆发,阿蒂亚先生开始向数学界展示其极为独特的学术路线:当他需要对一个问题形成观点,就一方面深入探索,一方面为了技术缺失的链条或者思考缺失的角度,而扩大“圈子”,寻求协作,扩宽路线,改良方法,产生的成果既帮助自己形成深刻观点,又成为有力的工具,为更深入的观点做准备。让人吃惊的是,相比一般的学术风格,这更像是一种工业路线。

  数学处在科技链条最基础的那一端,每个方向都非常艰深晦涩,小领域间隔离性很强,与实用工业的标准化大协作风格相距甚远,所以大范围的数学协作是不常见的,它需要协作者极强的学习、协调能力,以及对目标问题所需技术的深刻理解。学者们为数学大厦添砖加瓦,大贤如牛顿宛若巨人只手奠基现代数学,大智如高斯宛若隐者却常常片语道破天机,而阿蒂亚先生则仿佛一位工程师,联络协调众多同伴共同缔造了了拓扑K-理论的殿堂,为代数几何的发展提供了良好的框架。这位工程师的蓝图即便在现在看来依然异常辽阔,它覆盖了当时几乎整个拓扑学,并向外延伸,对代数几何、几何描述的客观空间、空间上存在的物质和作用充满兴趣。

  阿蒂亚先生最为著名的工作是“阿蒂亚-辛格指标定理”,这个定理被形容为太阳,很多重要的数学定理和物理问题,都必须围绕在它周围才便于解决。定理的内容非常简单:

  紧致流形上的椭圆微分算符,其解析指标和拓扑指标相等。

  定理中的椭圆微分算符出现在大量描述客观物理规律的方程中,而其指标则提示人们这类方程解的个数,因而指标的定义和计算对数学和物理学界都十分关键。在“阿迪亚-辛格指标定理”提出之前,学者们遇到的问题是,用解析的方法定义指标较为简洁,但不易计算;用拓扑的方法定义指标较为繁琐和晦涩,但计算相对简单直接。如果能知道两种指标的关系,则对数学和物理都有巨大推动。阿蒂亚先生,与他的合作者辛格、希策布鲁特和博特等一道,为这个问题做出决定性贡献,最终证明了指标定理。他们的证明有多个版本,既涉及到其擅长的拓扑K-理论,也使用过理论物理学者较擅长的传热方程。因而这个定理不但将数学中拓扑和解析两个视角相互接洽,其理论价值和证明过程,也都为数学和物理学的融汇架起桥梁。

  这一系列工作使得阿蒂亚先生名声大噪,并于1966年由于出色地将代数和几何结合得到诸多重要成果而荣获菲尔兹奖。在随后接踵而至的重量级奖项和显赫荣誉的环绕下,阿蒂亚先生的思考仍在深沉地延伸。

  他的蓝图向外渲染且逐渐清晰,客观物理以及物理概念间的联系,深深吸引了他:如何理解量子物理?如何理解规范场世界和直观认识之间的差异?如何理解电和磁?当手中的工具足够强大,阿蒂亚开始面对这些更深刻也更难缠的问题。要知道,数学问题只需要得到逻辑自洽的证明,而物理理论不但要求自洽,也必须经受实验检验,逻辑严密和实验现实之间如何平衡,对严谨的数学家通常较有挑战。

  阿蒂亚先生对这些困难不为所动,“我行我素”地从椭圆微分算符出发,继续深入思考当时在量子物理学界产生重大影响的一系列偏微分方程。在这个过程中,他尝试把不同方程的相似解联系起来,以及为方程难以理解的某些解提供与直观相联系的数学解释。换言之,他依然在为了追逐一个问题而思考,将不同概念与原本的思考相联,并等待新的碰撞,寻求新的观点。

  在量子力学和量子场论的方程中,都可以存在一个最低能的较为怪异的解,让一个量子态“位于”两个不同的位置。为了在较经典的层面理解这一量子特性,人们把这个解改写为一种粒子,它的行为似乎是在那两个位置之间瞬间地来回跳跃,这种解被叫做“瞬子”。在与希钦(Nigel Hitchin)和辛格讨论后,阿蒂亚与合作者们对瞬子进行了便捷的分类,并对4维(紧致)黎曼流形上瞬子的模空间的维度给出了计算方案,亦即“阿蒂亚-希钦-辛格定理”。此后,阿蒂亚与合作者们证明了瞬子问题可以简化为代数几何问题,并给出了该问题更一般的解决方案,且使用四元数进一步优化理论的表述。

  此后,阿蒂亚的思考延伸到量子规范场论更加核心的问题:电与磁为什么地位不同。或者说,既然有带某种电荷的粒子,为什么没有磁单极子。这个问题在中学基础物理、大学现代物理和当代前沿研究中,有着截然不同的意味,而无论从哪个层面认识,都可以隐约感觉到该问题涉及到了相互作用的核心。阿蒂亚何等高手,他探讨这个问题的方式是用四元数代替复数,直接重建了电与磁地位相同的场论,并且较严格地论证了磁单极子的相互作用规律。科学家用方程质问世界,世界在实验中隐约作答;遗憾的是,世界对这个问题的回答至今仍是万分晦涩,阿蒂亚没有等到答案。

  从用物理的方法证明几何定理,到将瞬子问题归结为代数几何,再到对磁单极问题的四元数描述,以及用宏观的视角同时洞察精细结构常数和黎曼猜想,很难说阿蒂亚先生多次将数学和物理融合是一种偶然。或许在他的思考中,数学和物理根本不曾分割,它们成为一个整体,成为对阿蒂亚来说需要穷尽一生、穷尽手段去追逐的,他自己的“真理”。

  从这个角度看其七十年的学术生涯,阿蒂亚先生似乎成为被晨星吸引而拼命追逐的水滴,一开始这滴水从汪洋而出,似乎没什么不同,但它始终追逐不曾停歇,联结所有沿途的河流和雨水,穷尽一切可能的方向和路径,不断壮大,渐有涛声,终成巨浪,声漫天下桃李纷飞,而当这力挽浪涛的水滴老去时亦不曾停歇,它褪尽浪潮,褪尽沿途播撒的桃李,疲惫渺茫地一往无前。在爱妻离去约十个月后,伴随着精细结构常数和黎曼猜想折射在那水滴上最后的闪光,追逐晨星的人成为了星辰。

  这颗星辰在人类文明上空,亦在一个小小家庭上空。当这颗星也老去,膨胀塌缩,触发氦闪,那核心中抛散出的,是数理的花瓣,还是莉莉的名字?

  作者简介:于赫夫,理论物理学博士,北京大学研究助理,研究方向为数学物理、标准模型和量子引力。

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