勾股定理竟引发了第一次数学危机?

来源:科普中国发布时间:2018-09-07

曾几何时,在人类匍匐在真理的道路探寻未来时,数学带来过光明。在科学尚在蒙昧的襁褓阶段时,数学也曾哺乳过文明。

  长久以来,数学都是精密、严格、准确的象征。

  人类非理性的行为主导了社会、政治、经济、文化等领域的蓬勃发展,而在理性统治的时代,现代科学也在不断用实验和数据支撑或者反驳前人的论断,从而引领人们走向一条自我进化之路。路的远方只能无限接近真理,却永远无法抵达那里。于是,在世间万物变化无穷的表象之下,数学成了人们最后确定性的倚靠。

  如果数学的根基被动摇,人类认识世界的逻辑基础就可能被颠覆。当一加一不再等于二,人类文明构建的宏伟大厦即可能在顷刻之间坍塌,所有固若金汤、坚不可摧的真理信条也会在瞬间失去存在的理由。世间一切文明亦会在一夜之间灰飞烟灭。宇宙最终只能沉寂于混沌的深渊。从某种角度来说,数学不能出现矛盾,也不能出现危机。数学,就是人类文明最后的避风港。

  不幸的是,在两千多年的历史进程里,坚如磐石的数学大厦仍然出现了裂痕。人们在无意之间凿开的罅隙却很快激发连锁反应,最终引起科学界的大地震。无数历史上最杰出的科学大家加入了修补大厦的工作,为挽救数学的完美与精确而殚精竭虑。等到危机过去,人们才发现,数学并不是无瑕的美玉,也并非无所不能的利器。数学理论即便可以帮助人们迈入天翻地覆的文明,但是在认识宇宙终极真理的道路上,它一样无能为力。甚至连数学本身,也并非无懈可击。人们总能在构建数学王国的砖石中,找到那些无可避免的残缺。

  曾几何时,在人类匍匐在真理的道路探寻未来时,数学带来过光明。在科学尚在蒙昧的襁褓阶段时,数学也曾哺乳过文明。历史上,数学就是人类文明最忠实可靠的朋友。然而这位朋友,却经历过人们三次血与火的洗礼。幸运的是,每一次,它都将自己一部分最深邃的秘密展现给信仰追随它的人们。每一次的危机都带来人们观念上的革命,每一次革命都让后人更加了解数学——人类文明的守护者,更真实的内心。

  让我们重回历史上那三次危机的现场。危机的导火索,却是那样的漫不经心。一切仿佛都在印证,真理给予人类的恩赐,同样都是有心栽花花不开,无意插柳柳成荫。

  (一)无理数的觉醒-毕达哥拉斯的怒火

  数与形,是人类最早认识世界的基础。因此,作为数的代表-整数与事物形状的代表-几何,就这样进入人们理性思辨的世界。

  第一次数学危机,就诞生在人们对整数和几何的认识之中。“根号2是否是有理数”这样一个问题,引起了古希腊先贤们的争论,并逐渐演变成一场巨大的风波,最终竟然引导古希腊的数学走向了一条截然不同的发展道路。

  事件的起因,却要从勾股定理说起。

  公元前5世纪,古希腊的天才人物毕达哥拉斯(Pythagoras)创建了宗教、政治、学术合一的毕达哥拉斯学派。其主要的研究涵盖几何、算术、天文和音乐,并在其中追求宇宙和谐统一的规律。

毕达哥拉斯学派(图片来源:搜狗百科)

  彼时,毕达哥拉斯学派对整数有着异乎寻常的信仰。他们发现,大自然很多事物都可以通过数量的大小和关系进行解释和说明。这种对整数的痴迷就来源于音乐的启迪。

  一次偶然的经历,毕达哥拉斯意识到音乐中音调的和谐完全由整数之比决定。音乐和数这看起来毫无关联的事物居然通过整数连接在了一起,这让毕达哥拉斯受到很大启发,并由此断言宇宙万物都可归结于整数或者整数之比(注:毕达哥拉斯时代的整数指代自然数)。这成了后来毕达哥拉斯学派的信条之一:一切事物都按照数来安排。具体而言,万物都是整数或者整数之比的和谐产物。进一步,宇宙的本质就在于整数的和谐。

  与此同时,数学历史上最伟大的定理之一-勾股定理-也诞生在毕达哥拉斯学派对几何学孜孜不倦的追求之中。所谓“勾股定理”,就是一个直角三角形三边长必须满足的数量关系,即斜边长的平方等于长与宽各自的平方之和。这与古代中国独立发现的“勾三股四弦五”的特例有异曲同工之妙。意外的是,这一成就毕达哥拉斯千古英名的定理却也成了该学派信仰的“掘墓人”。

勾股定理示意图(图片来源:http://www.sohu.com/a/34394091_139985)

  由于相信万物都是整数或者整数之比,那么两条几何线段长度之间的比值,其结果也必然是整数之比。这也意味着存在第三条线段,能同时量尽事先给定的两条线段。这种性质被毕达哥拉斯学派称为“可通约”。基于对整数的信条,他们认为任何两条线段都是可通约的。直到“不可通约量”的发现,终于引起了该学派巨大的信仰危机。这一“离经叛道”的结果,却是由毕达哥拉斯的学生希帕索斯(Hippasus)做出的。

  希帕索斯考虑一个边长为1的等边直角三角形,根据勾股定理,其斜边长应该是“2的平方根”。如果毕达哥拉斯学派的断言是正确的,那么直边和斜边应该是可通约的,因此存在一个有理数(即整数之比),恰好等于“根号2”。希帕索斯很快就证明,这是一个矛盾的结论。他兴高采烈地将自己的非凡发现告诉老师毕达哥拉斯。在经过仔细的检查之后,毕达哥拉斯进入了“两难”的境地。要么承认希帕索斯颠覆性的结论,从而推翻他的数学与哲学的信条;要么违背理性的原则,坚决反对这一发现。左右为难之下,毕达哥拉斯将其视为学派的秘密,下令禁止传播这一结论。事情的发展还是超乎毕达哥拉斯的预料,希帕索斯最终将发现泄露出去,从而激怒了毕达哥拉斯。毕达哥拉斯随后下令处死他的学生。希帕索斯最终为此付出生命的代价,将一腔热血献祭给了第一次数学危机。

  这一认识上的危机给古希腊的数学带来巨大的地震。为了维护学派的信仰,毕达哥拉斯认定类似于“根号2”这样的数是不可说、也无定形的数,其秘密属于众神的范畴,凡人不应该接触和认识到这些数的存在。这些数被称为“没有理性的数”,它们的存在即宣告了无理数的诞生。

  第一次数学危机持续了2000多年。公元前3世纪,毕达哥拉斯学派的欧多克斯(Eudoxus)试图通过在几何学中引进不可通约量的概念来解决它的矛盾。他认为,几何线段先天就存在着“可通约”和“不可通约”的限制,这在某种程度上大大拓展了人们对数的认识,也为无理数找到了存在的基础。直到1872年,德国数学家戴德金(Dedekind)从连续性的要求出发,通过有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的分析基础上,才揭开了无理数的神秘面纱,从而结束了无理数被认为“无 理”的时代,也结束了自古希腊时代就延续至今的数学史上的第一次大危机。

德国数学家利乌斯•威廉•理查德•戴德金

(Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831-1916)(图片来源:百度百科)

  第一次数学危机诞生于几何学。万物皆依赖于整数的思想被瓦解,几何学的地位开始擢升。古希腊人开始明白知觉和经验的局限性,一切真理只有通过推理和证明才能确保可靠。此后,演绎和推理的方式逐渐登上古希腊科学的舞台,在此基础上建立的几何公理体系让希腊民族走向了以欧几里得(Euclid)和亚里士多德(Aristotle)为代表的逻辑论证之路。古希腊也因此成为现代科学国家的先驱者。

  相比之下,四大文明古国的中国、印度、埃及和巴比伦却一直停留在实验科学的阶段,以经验作为检验真理的唯一标准,而忽视了推理和证明的重要性,从而与现代科学的诞生擦肩而过。

  (本文中标明来源的图片均已获得授权)

出品:科普中国 

制作:中国科学院数学与系统科学研究院 黄逸文 

监制:中国科学院计算机网络信息中心  

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