奇人贡培兹: “死亡率定律”是个啥?

作者:肖溪树来源:蝌蚪五线谱发布时间:2018-03-12

奇人贡培兹,一生最珍贵的遗产就是“死亡率定律”了!

生命界的生老病死,乃自然界的一大规律,本没有什么值得大惊小怪的。然而,19世纪英国的一位数学家却为后人留下的一份宝贵的遗产——“死亡率定律”,这倒引起了人们的兴趣。

那么,这位数学家有什么样的传奇呢?他的“死亡率定律”又是一个什么样的定律呢?

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奇人贡培兹的“死亡率定律”(网络图)

自学成才的数学家

本杰明·贡培兹(Benjamin Gompertz)于1779年出生于伦敦的一个富足家庭,其父亲是一个钻石经销商。然而,由于贡培兹是犹太人,这使得他在就学方面受到了歧视。

1810年,他最初按照父亲的意愿在伦敦证券交易所谋得了一份工作,但他矢志不渝的目标是想当一名精算师。什么是精算师呢?原来,精算师是一类处理金融风险类业务的商业性职业人员,主要分布在保险、金融及其他领域中。

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伦敦证券交易所(网络图)

做精算师需要具备多方面的专业知识,如数学、统计学、经济学、金融学以及财务管理等方面的专业知识及技能。

为了能当一名优秀精算师,贡培兹可是没少用功啊!他对数学、统计学以及金融理论等的爱好达到了痴迷的程度,并时不时地向数学刊物提交论文。

贡培兹因年仅10岁的儿子不幸去世,悲痛之余辞去了伦敦证券交易所的工作。

1821,他应聘了一家保险公司,但遭到了董事会的反对。原因很简单,因为他是一个犹太人。

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数据的海洋(网络图)

此后,他专注地从事数学方面的研究,并且取得了不小的成绩。1819年,他成为了英国皇家学会会员,还被誉为关于伤亡和概率问题的著名专家。

“死亡率定律”出笼记

1824年,贡培兹引起了一家联合保险公司的注意。公司高层非常欣赏贡培兹的才华,“怎么,就因为宗教信仰不同而拒绝聘用你,太不公平了!没关系,我要为你提供一个施展才华的大舞台!”

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精算师(网络图)

贡培兹被委任为这家联合保险公司的精算师,从而开启了他职业生涯中的一个黄金时段。1825年,他向皇家学会提交了一篇事关他学术地位的重磅论文。

这篇论文的标题为“人类死亡率的函数表达及确定生命危险性的新模式”。就是这篇论文奠定了他在数学和保险业中的学术地位,并深刻影响了后世的人寿保险以及其他诸多领域。

保险业在西方国家起步很早,现在大约有90%以上的居民都会购买不同险种的保险。人寿保险的计算需要基于人身保险事故出险率变动的规律。所谓出险率就是发生危险事故的概率。

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发达的保险业(网络图)

人身保险的主要品种是人寿保险,而人寿保险是以生命表的形式来表述被保险人死亡概率的。所谓生命表,又被称为死亡表或寿命表,是根据以往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制而成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表。

1661年,英国出现了历史上最早的死亡机率统计表。1693年,世界上第一张生命表诞生。这是英国天文学家哈雷(A. Hally)根据德国布勒斯劳市的居民寿命资料编制出的一张完整的生命表,它奠定了近代人寿保险费计算的基础。

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哈雷编制了世界上第一张生命表(网络图)

18世纪40至50年代,英国人辛普森和多德森两人发起组织了“伦敦公平保险公司”,首次将死亡表运用到计算人寿保险的费率上。

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英国社会(网络图)

寿命是人口学研究的一个基本要素,特别是人寿保险更关注年龄与死亡风险的关系。贡培兹为了简化养老金和保险金的计算方法,对所在地区的人群死亡率进行了收集和统计,以希望能找到某些规律性的东西。

结果他发现了一个十分有趣的规律,那就是婴幼儿的死亡率一般都比较高,其后则会出现逐年下降的趋势,大约到了10-15岁的时候死亡率达到最低点;可是,青春期过后死亡率又会很快上升,上升的速率大约每8年(有的说是10年)翻一番,这种趋势可以一直持续到80岁。

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年龄性别死亡率曲线(网络图)

为了验证这样一个规律,贡培兹以英国、法国和瑞典不同历史时期的人群死亡率为研究对象,结果与上述的有趣规律十分吻合。

贡培兹发现了一个关于人类生老病死的自然规律,即人类在一生中的某个年龄阶段,其死亡率会呈现几何级数增加的趋势。这个规律就叫做“死亡率定律”,也叫“死亡率法则”等。

解读“死亡率定律”

贡培兹论文的主题是,在人类成年后的大部分时间里,随着年龄的增长,人类死亡的几率会成倍地增加。

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贡培兹“死亡率定律”(网络图)

对于外行人来看,这个结论的确也没有什么惊天动地的发现,然而对于保险领域的业内人士来说那可是一个不小的发现呀!贡培兹的模型被保险公司用来计算人寿保险的成本,同时也可用于对人口模型的精炼。

“死亡率定律”的解析式:

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贡培兹的这个定律虽然是从欧洲的目标人群死亡率资料推导出来的,但同样也适用于其他国家和地区的人群。这说明不同地域的人群在相同年龄层的死亡率变化具有一致的模式,只不过死亡率曲线起伏的程度不同而已。

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贡培兹模式也适用于动物界(网络图)

动物学家研究发现,这一模式在动物界也具有普适性。即在性成熟时期动物的死亡率达到最低点,之后死亡率呈指数上升规律。 物种之间的寿命差异,主要表现在老龄化的速度差异方面,这可以用死亡率函数的斜率差异来反映。

二百年穿越任评说

贡培兹的死亡率定律对于成年人到老年人阶段的死亡率的描述非常不错,因此是人们研究人类死亡率规律和模式的有力工具。但对大于85岁的老年人与实际的拟合则存在较大误差。

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老龄化社会(网络图)

贡培兹认为,导致人死亡的原因有两种,一是机遇,即意外原因;二是抗死亡能力的减退。他做出了这样一个假定,即一个人的抗死亡能力的减退速度与当时他本人的抗死亡能力成正比。

贡培兹在推导定律时忽略了第一项原因,只考虑了抗死亡能力的减退速度。1860年,Makeham对贡培兹死亡率定律进行了推广,在死亡率函数中添加了一个常数项。解析式为:

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大量的研究证明,贡培兹的死亡定律与实际人口群体的死亡率模式存在明显的一致性。因此,在研究和讨论死亡率问题时,人们常常引用贡培兹的死亡率定律,这说明贡培兹的死亡率定律是一个被人们广泛接受的理论。

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世界上最丑陋的动物——裸鼢鼠(网络图)

最近有报告称,裸鼢鼠似乎是游离在贡培兹法则之外的动物,因此对贡培兹法则提出了挑战。据悉,裸鼢鼠极少患癌症,并且它们不会衰老。

科学家首次对上千只裸鼢鼠的生活史进行了分析和研究,发现它们的死亡风险并未随着年龄渐长而增加,但它们最终也会死亡。

墙内开花墙外也香

贡培兹的死亡率定律作为一个数学模型,其价值不仅仅限于金融和保险行业,现在贡培兹曲线(Gompertz曲线)还在经济、科技、生物、农业以及工程等领域获得了广泛应用。

贡培兹曲线的特点为,初期增长比较缓慢,以后逐渐加快,当达到一定程度后增长率又逐渐下降,最后接近一条水平线。因此,可用贡培兹曲线来描述与萌芽、成长、饱和相关的周期过程。

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利用贡培兹曲线数学模型预测汽车夜视系统市场(网络图)

最近,贡培兹曲线还被应用于新兴产业的产品生命周期预测,并表现出了与市场的良好拟合性。原来,在经济变量的发展进入到某个特定阶段时,应用贡培兹曲线来描述是非常方便的。

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利用贡培兹曲线数学模型预测智能手机市场(网络图)

现在,包括台式电脑、手机、笔记本、互联网等新兴产业产品用户都已到达一定程度并开始增速放缓时,可以用贡培兹曲线来预测商品寿命周期中的市场容量。

人物小传

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本杰明·贡培兹(1779年–1865年),19世纪英国的一位数学家和保险统计师,“死亡率定律”的发现者。他从小就热爱学习,先后学习了牛顿等大师的著作。他作为一个犹太人,没有机会进入大学进行学习。但是,这并不能湮灭他学习知识的热情。

他一边工作,一边自学。他自学数学和其他学科,均取得了很好的成绩。从1798年起,他便在数学方面崭露头角,并获得某杂志的年度奖。1825年,在联盟保险公司任精算师期间发现“死亡率定律”。

1848年,他退休后致力于学术团体活动,他不仅是许多学术团体的成员,也是犹太慈善组织的重要成员,而且还积极参与科学知识的传播等工作。

参考文献

【1】煎蛋sh.《预测我们死亡的本杰明·冈珀茨》,搜狐网,2018-02-14。

【2】 魏震.《浅谈死亡率预测模型相关研究》,理论广角 ,2014-08。

【3】韩明 等.《数学建模案例》(M),同济大学出版社,2012年版。

【4】邓宗琦. 《科坛无冕之王:数学与高新技术》(M),湖北科学技术出版社,2012年版。

【5】宗华.《裸鼢鼠缘何“长生不老”》,中国科学报, 2018-01-29。

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