3.14专稿: 祖冲之二推“祖率”

作者:魏德勇来源:蝌蚪五线谱发布时间:2016-03-14

青年祖冲之利用重新计算新莽嘉量容积和著写《缀术》两件事,终于让人们完全接受了新推算出来的圆周率。后世的数学家们沿着他的足迹,继续推算圆周率,并将其运用到极致。

  公元462年,青年祖冲之扔下一把小木棍,提起笔准备给新推算出的圆周率作个区限定义。这些天来,他拿着这些小棍摆呀摆呀,从屋里摆到屋外,反反复复,无休无止。原来,他要用算筹计数法(注一)从圆内接正6边形一直分割到圆内接正12288边形和24576边形,并依次求出各多边形的周长和面积。这些复杂的计算中,每个程序包括加减乘除、乘方、开方等步骤,运算过程中的有效数字达18位之多。任何一点微小的失误,都会导致前功尽弃。最后,他终于算出当时世界上最精确的圆周率,3.1416。

  畅快之余,祖冲之突然想,应该给这个无穷无尽的圆周率作更为精确的定义。若干年后,数学家们给把这个定义称为“上下限问题”。在我国,祖冲之是第一个使用“上下限”概念的数学家。他给新圆周率精确定的范围是:3.1415926 < 圆周率 < 3.1415927 ,用分数值表示为22/7 < 周周率 < 355/113。这个数值比π的实际值相对误差只有千万分之九。作个形象的比较,如果用新的圆周率计算一个直径为10公里的圆田的周长,其结果比真值相差在3毫米以内。

  —— 祖冲之在圆周率上所作的贡献,比推算到同样程度的外国人要早1000多年。为了纪念他为人类所作的贡献,日本数学家三义上夫提议把(355/113)称作“祖率”。此事得到世界许多国家的认可。这些都是后话。

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  “不能光计算出来,还要让人们认可,并作为人们在实际生活中计算圆类物体面积和体积的不二之选。”祖冲之在屋里不停踱步,思考如何让人们接受新的圆周率(即“祖率”)。

  日薄西山的时候,祖冲之终于拿定主意:重新计算“新莽嘉量”的容积。

  新莽嘉量是一种内方外圆、外边附有两个耳朵(实际上是两只小斛)的圆柱体容器,是古代人们在实际生产中通用的标准计量器。公元9年,西汉科学家刘歆(注二)奉当朝宰相王莽的命令制造的此计量器,故名。在制造过程中,刘歆采用的圆周率是3.1547,算出其容器是1620。这个值沿用了400多年。

  祖冲之用“祖率”重新计算,得出的结果比1620要小一些,也更精确一些。

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现存于台北博物馆的新莽嘉量(网络图)

  祖冲之算出新莽嘉量的值后,世人都感到惊奇。皇帝虽然没有推行祖冲之编的《大明历》,但对他的这项工作非常满意。在皇帝和朝廷的支持下,祖冲之决定再接再励,写一本以“祖率”为主要内容的书籍。目的有二,一是对学术工作的总结,二是大力推广“祖率”。

  两年后,祖冲之完成一部名叫《缀术》的数学名著。此书共有6卷,包括精密的圆周率、三次方程解法和球形体积量法等内容。

  《缀术》号称“从汉魏到隋唐水平最高的数学著作”,对南北朝后的各个朝代产生过非常重要的影响。据史书记载,唐朝时官办学校没有数学专科,学生分为两类,一类学制6年,所用教科书为《周髀算经》《九章算术》和《海岛算经》等 ;另一类学制7年,所用教科书为《缀术》和《辑古算经》。第二类学生要学4年《缀术》,从其被学习的期限之长,可以推测它的内容是较深奥的。另外数学考试中,从《缀术》中出题的概率最高,每次考试要出6至7道。

  12世纪时,《缀术》远渡重洋,传到日本和朝鲜,被这两国政府定为教科书。

《缀术》在唐代被收入《算经十书》

《缀术》在唐代被收入《算经十书》(网络图)

  令人惋惜的是,这样一部博大精深的著作,这样一份珍贵的财富,我们今天却看不到了。北宋中期,国内连年战争,数学教育和研究都得不到应有的重视,大量的算书在这期间散失了,《缀术》也遭到了同样的命运。这些也是后话。

  青年祖冲之利用重新计算新莽嘉量容积和著写《缀术》两件事,终于让人们完全接受了新推算出来的圆周率。后世的数学家们沿着他的足迹,继续推算圆周率,并将其运用到极致。据说,当年英特尔公司推出的奔腾芯片,正是通过运行圆周率的计算,才发现芯片运算有问题。现在计算圆周率已经成为一个标准的电脑测试程序,以此来验证计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性。

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祖冲之塑像(网络图)

  注一:算筹计数法,古代的计算方法。算筹是指一根根同样长短和粗细的小棍子,一般长为13--14cm,径粗0.2~0.3cm,多用竹子、木头等制成,大约二百七十几枚为一束,放在一个布袋里,系在腰部随身携带。在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示单位数目的,其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示,6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空。

  注二:刘歆,字子骏,汉高祖四弟楚元王之后,一代大儒刘向之子,公元23年因谋诛权臣王莽事败自杀。他编制的《三统历谱》被认为是世界上最早的天文年历的雏形;他在圆周率的计算上也有贡献,他是第一个不沿用“周三径一”的中国人,并定该重要常数为3.15471,只略微差了0.0131。

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